Đạo hàm  y’ = 3x²+6x+m. Ta có  ∆ ' y ' = 9 - 3 m

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi  ∆ ' y ' = 9 - 3 m > 0 ⇔ m < 3  

Ta có 

Gọi x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó 

Theo định lí Viet, ta có 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y₁.y₂<0

Chọn C.

Đáp án C

Ta có y ' = 3 m − 3 x 2 + 4 m 2 − m − 1 x + m + 4.  

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục O y ⇔ y ' = 0  có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra  x 1 x 2 < 0 ⇔ m + 4 3 m − 3 < 0 ⇔ − 4 < m < 3. m ∈ ℤ ⇒ m ∈ − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 .

Đáp án C

y ' = x 2 − 6 m x ; y ' = 0 ⇔ x 1 = 0 x 2 = 6 m .

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực trị ⇔ y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 .

Các điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành  ⇔ y 1 y 2 < 0

⇔ m − 36 m 3 + m < 0 ⇔ m 2 − 36 m 2 + 1 < 0 ⇔ m > 1 6 .

Chọn D

Đáp án D

Điều kiện để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành  PT  y = 0    có ba nghiệm phân biệt. Xét PT

x 3 + 1 − 2 m x 2 + 2 2 − m x + 4 = 0 ⇔ x 3 + x 2 − 2 m x 2 + 2 m x + 4 x + 4 = 0 ⇔ x + 1 x 2 − 2 m x + 4 = 0

Để  PT này có ba nghiệm phân biệt thì 

Δ ' = m 2 − 4 > 0 − 1 2 − 2 m . − 1 + 4 ≠ 0 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞ m ≠ − 5 2

Đáp án B 

Chọn đáp án C.

Ta có y ' = 3 x 2 - 2 ( m + 1 ) x + m 2 - 2

trước tiên ta phải có phương trình y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt

Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về một phía đối với trục hoành là y x 1 . y x 2 > 0

⇔ y = 0  có đúng một nghiệm thực.

Thử trực tiếp các giá trị của m∈{−1,0,1,2} nhận các giá trị m∈{−1,0,2} để y = 0 có đúng một nghiệm thực.